Question

下列命題中，其中真命題的個數(shù)有（　　）個
①若f（x）是定義在[-1，1]上的偶函數(shù)，且在[-1，0]上是增函數(shù)，θ∈(

π

4

，

π

2

)，則f（sinθ）＞f（cosθ）
②△ABC為銳角三角形是tanA+tanB+tanC＞0的充要條件
③若|

a

+

b

|=|

a

-

b

|，

a

•

b

=0
④函數(shù)f(x)=

x-1

2x+1

，(-

1

2

，-

1

2

)是其對稱中心
⑤命題P：?x∈R，mx²+1≤0，命題q：?x∈R，x²+mx+1＞0，若p∨q為假命題，則實數(shù)m的取值范圍是m＞2．

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：根據(jù)函數(shù)奇偶性與單調性的綜合應用，可以判斷①的真假；由三角形內角的三角函數(shù)的性質，可判斷②的真假；同平面向量的性質可判斷③的真假；由函數(shù)的對稱性能判斷④的真假；由復合命題的真假判斷能得到⑤的真假．

解答：解：①若f（x）是定義在[-1，1]上的偶函數(shù)，且在[-1，0]上是增函數(shù)，
則函數(shù)在[0，1]上為減函數(shù)，
若θ∈(

π

4

，

π

2

)，則0＜cosθ＜sinθ＜1，
則f（sinθ）＜f（cosθ），故①為假命題；
②∵tanA+tanB=tan（A+B）（1-tanAtanB）
∴tanA+tanB+tanC=tan（A+B）（1-tanAtanB）+tanC=tanC（tanAtanB-1）+tanC=tanAtanBtanC＞0，
∴A，B，C是△ABC的內角，故內角都是銳角．
反之，當△ABC的內角都是銳角時，tanA+tanB+tanC＞0．
故△ABC為銳角三角形是tanA+tanB+tanC＞0的充要條件，故②是真命題；
③∵|

a

+

b

|=|

a

-

b

|，∴

a

2+

a

•

b

+

b

2=

a

2-

a

•

b

+

b

2，
∴

a

•

b

=0，故③正確；
④設f（x）的對稱中心是（a，b），有f（x）+f（2a-x）=2b
f（x）+f（2a-x）=

x-1

2x+1

+

2a-x-1

4a-2x+1

=（4x²-8ax+2a+2）÷（4x²-8ax-4a-1）
=2b，
∴2a+2+4a+1=0，2b=1
a=-

1

2

，b=

1

2

，
∴f（x）的對稱中心是（-

1

2

，

1

2

），故④不正確；
⑤∵p∨q為假命題，∴p，q均為假命題，
即￢p：x∈R，mx²+1＞0和￢q：x∈R，x²+mx+1≤0均為真命題，
由￢p：x∈R，mx²+1＞0為真命題，得到m≥0；
由￢q：x∈R，x²+mx+1≤0為真命題，得到△=m²-4≥0，解得m≥2，或m≤-2．
綜上，m≥2．故⑤正確．
故選C．

點評：本題考查命題的真假判斷，是基礎題．解題時要認真審題，注意函數(shù)的性質、三角形內角三角函數(shù)的性質、平面向量等知識點的合理運用．