Question

數列{a_n}中a₁=8，a₄=2，且滿足a_n+2-2a_n+1+a_n=0（n∈N^*），
（1）求數列{a_n}通項公式；
（2）設S₅₀=|a₁|+|a₂|+L+|a₅₀|，求S₅₀．

Answer 1

分析：（1）首先判斷數列{a_n}為等差數列，由a₁=8，a₄=2求出公差，代入通項公式即得．
（2）判斷哪幾項為非負數，前五項加絕對值不變，用等差數列前n項和算出，后45項加絕對值變為相反數，可把a₆看作首項，公差不變，求出后45項的和，用前5項的和減去后45項的和即得所求．

解答：解：（1）∵a_n+2-2a_n+1+a_n=0，∴2a_n+1=a_n+a_n+2
∴數列{a_n}是首項為a₁=8的等差數列．
∵a₁=8，a₄=2，公差d=

a4-a1

4-1

=-2，a_n=a₁+（n-1）d=10-2n．
（2）∵a_n=10-2n≥0，∴n≤5
∴數列{a_n}的前5項為非負數，后面的45項為負數．
a₆=10-2×6=-2，a₅₀=10-2×50=-90
S₅₀=a₁+a₂+…+a₅+（-a₆）+（-a₇）+…+（-a₅₀）
=

8+0

2

×5+

2+90

2

×45=2090．

點評：考查了等差數列的通項公式和前n項和公式，求出公差，用代入法直接可求；求S₅₀時，注意后45項與{a_n}中的項是互為相反，可以利用數列{a_n}是等差數列求出后45項的和，取相反數即可．