Question

在等比數列{a_n}中，a_n＞0（n∈N*），公比q∈（0，1），且a₃+a₅=5，又a₃與a₅的等比中項為2．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=5-log₂a_n，數列{b_n}的前n項和為S_n，求數列{S_n}的通項公式；
（3）設T_n=++…+，求T_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接利用a₃+a₅=5，以及a₃與a₅的等比中項為2即可求出a₃和a₅，進而求出數列{a_n}的通項公式；
（2）先把（1）的結論代入整理出數列{b_n}的通項公式，得數列{b_n}為等差數列，再代入等差數列的求和公式即可；
（3）先利用（2）的結論知==2（-），再代入求和即可．
解答：解：（1）a_n＞0，∴a₃+a₅=5，又a₃與a₅的等比中項為2，∴a₃a₅=4，而q∈（0，1），
∴a₃＞a₅，∴a₃=4，a₅=1，∴q=，a₁=16，
∴a_n=16×=2^5-n；
（2）b_n=5-log₂a_n=5-（5-n）=n，∴b_n+1-b_n=1，
∴{b_n}是以b₁=1為首項，1為公差的等差數列．
∴S_n=；
（3）由（2）知==2（-）
∴T_n=+++=2[（1-）+（-）++（-）=2（1-）=；
點評：本題考查等差數列與等比數列的基礎知識以及數列求和的裂項法，是對基礎知識的考查，屬于中檔題．