【答案】
分析:(1)由題設知a
n+1+1=2(a
n+1),所以數列{a
n+1}是首項為2,公比為2的等比數列,所以a
n=2
n-1.
(2)由題設知

,由此能推導出nb
n-2=(n-1)b
n+1,從而得到2b
n+1=b
n+b
n-1,所以數列{b
n}是等差數列.
(3)設

,則

=

,由此能夠證明出

.
解答:解:(1)∵a
n+1=2a
n+1,∴a
n+1+1=2(a
n+1)(2分)
故數列{a
n+1}是首項為2,公比為2的等比數列.(3分)
∴a
n+1=2
n,a
n=2
n-1(4分)
(2)∵

,
∴

(5分)
2(b
1+b
2++b
n)-2n=nb
n①2(b
1+b
2++b
n+b
n+1)-2(n+1)=(n+1)b
n+1②
②-①得2b
n+1-2=(n+1)b
n+1-nb
n,
即nb
n-2=(n-1)b
n+1③(8分)
∴(n+1)b
n+1-2=nb
n+2④
④-③得2nb
n+1=nb
n+nb
n-1,即2b
n+1=b
n+b
n-1(9分)
所以數列{b
n}是等差數列.
(3)∵

(11分)
設

,
則

=

(13分)

(14分)
點評:本題考查數列和不等式的綜合應用題,具有一定的難度,解題時要認真審題,注意挖掘題設中的隱含條件.