Question

兩個非零向量

OA

、

OB

不共線，且

OP

=m

OA

，

OQ

=n

OB

(m，n＞0)

，直線PQ過△OAB的重心，則m，n滿足（　　）

• A．m+n=

  3

  2

• B．m=1，n=

  1

  2

• C．

  1

  m

  +

  1

  n

  =3
• D．以上都不對

Answer 1

分析：利用向量的運算法則、向量共線定理及三角形的重心的性質即可得出．

解答：解：如圖所示，設點G為△OAB的重心，D為AB邊的中點．
則

OG

=

2

3

OD

=

2

3

×

1

2

(

OA

+

OB

)=

1

3

(

OA

+

OB

)．
∵

GQ

與

PG

共線，∴存在實數λ使得

GQ

=λ

PG

，
又∵

GQ

=

OQ

-

OG

，

PG

=

OG

-

OP

，
∴

OQ

-

OG

=λ(

OG

-

OP

)，
∵

OP

=m

OA

，

OQ

=n

OB

(m，n＞0)

，
∴n

OB

-

1

3

(

OA

+

OB

)=λ[

1

3

(

OA

+

OB

)-m

OA

]，
整理為(

1+λ

3

-λm)

OA

+(

1+λ

3

-n)

OB

=

0

，
∵兩個非零向量

OA

、

OB

不共線，∴

1+λ 3 -λm=0 1+λ 3 -n=0

，
消去λ化為

1

m

+

1

n

=3．
故選C．

點評：熟練掌握向量的運算法則、向量共線定理及三角形的重心的性質是解題的關鍵．