Question

如圖，四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD為梯形，AB∥DC，∠ABC＝∠CAD＝90°，且PA＝AB＝BC，點E是棱PB上的動點．

(Ⅰ)當PD∥平面EAC時，確定點E在棱PB上的位置；

(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下，求二面角A―CE―P的余弦值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)在梯形中，由，，得， 　　∴．又，故為等腰直角三角形． 　　∴． 　　連接，交于點，則 　　∥平面，又平面，∴． 　　在中，， 　　即時，∥平面　　6分 　　(Ⅱ)方法一：在等腰直角中，取中點，連結，則．∵平面⊥平面，且平面平面＝，∴平面． 　　在平面內，過作直線于，連結，由、，得平面，故．∴就是二面角的平面角． 　　在中，設，則， 　　，， 　　， 　　由，可知：∽，∴， 　　代入解得：． 　　在中，，∴， 　　． 　　∴二面角的余弦值為　　12分 　　方法二：以為原點，所在直線分別為軸、軸，如圖建立空間直角坐標系． 　　設，則，，，，． 　　設為平面的一個法向量，則，，∴，解得，∴． 　　設為平面的一個法向量，則，， 　　又，，∴，解得 　　∴． 　　∴二面角的余弦值為　　12分