Question

如圖，四邊形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD=6，BC=4，AB=2，點E、F分別在BC、AD上，EF∥AB．現將四邊形ABEF沿EF折起，使平面ABCD⊥平面EFDC，設AD中點為P．
（ I ）當E為BC中點時，求證：CP∥平面ABEF
（Ⅱ）設BE=x，問當x為何值時，三棱錐A-CDF的體積有最大值？并求出這個最大值．

Answer 1

解：（ I ）證明：取AF得中點Q，連接QE、QP，則有條件可得QP與DF 平行且相等，
又DF=4，EC=2，且DF∥EC，
∴QP與 EC平行且相等，
∴PQEC為平行四邊形，
∴CP∥EQ，又EQ?平面ABEF，CP?平面ABEF，
∴CP∥平面ABEF．
（Ⅱ）∵平面ABEF⊥平面EFDC，平面ABEF∩平面EFDC=EF，BE=x，
∴AF=x （0＜x≤4），FD=6-x，
∴V_A-CDF==（6x-x²）=[9-（x-3）²]，
故當x=3時，V_A-CDF取得最大值為3．
分析：（ I ）取AF得中點Q，連接QE、QP，利用三角形的中位線的性質證明PQEC為平行四邊形，可得CP∥EQ，再由直線和平面平行的判定定理證得結論．
（Ⅱ）根據平面ABEF⊥平面EFDC，BE=x，可得AF=x （0＜x≤4），FD=6-x，代入V_A-CDF計算公式，再利用二次函數的性質求得V_A-CDF的最大值．
點評：本題主要考查直線和平面平行的判定定理，求三棱錐的體積，二次函數的性質，屬于中檔題．