Question

設數列{a_n}滿足：當n=2k-1（k∈N^*）時，a_n=n；當n=2k（k∈N^*）時，a_n=a_k．
（1）求a₂+a₄+a₆+a₈+a₁₀+a₁₂+a₁₄+a₁₆；
（2）若，證明：S_n=4^n-1+S_n-1（n≥2）；
（3）證明：．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據題設中數列的通項公式可求得原式=4a₁+2a₃+a₅+a₇求得答案．
（2）先把前n中，奇數項和偶數項分別計算，利用等差數列的求和公式求得=4^n-1，代入即可求得答案．
（3）由2）知：S_n-S_n-1=4^n-1，進而用疊加法求得S_n，進而利用利用等比數列的求和公式，求得
解答：解：（1）原式=a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆+a₇+a₈
=a₁+a₁+a₃+a₁+a₅+a₃+a₇+a₁
=4a₁+2a₃+a₅+a₇
=4×1+2×3+5+7
=22

（2）
=
=
=
=
=4^n-1+S_n-1

（3）由2）知：S_n-S_n-1=4^n-1，于是有：S_n-1-S_n-2=4^n-2，S_n-2-S_n-3=4^n-3，S₂-S₁=4，
上述各式相加得：S_n=S₁+4+4²++4^n-1
=2+4+4²++4^n-1
=，
∴，
∴．
點評：本題主要考查了數列與不等式的綜合．考查了不等式的性質在數列中的應用．