Question

已知函數f（x）=x（x-9）²，x∈[0，+∞）存在區間[a，b]⊆[0，+∞），使得函數f（x）在區間[a，b]上的值域為[ka，kb]，則最小的k值為（　　）

A．36

B．9

C．4

D．1

Answer 1

分析：先利用導數研究函數的單調性和極值，然后由函數y=f （x）的定義域為[a，b]，值域為[ka，kb]可判斷出k＞0，結合函數的單調性討論a、b，建立方程，即可得到實數k的取值范圍，從而求出最小值．

解答：解：∵函數f（x）=x（x-9）²=x³-18x²+81x
∴f′（x）=3x²-36x+81=3（x-9）（x-3），x∈[0，+∞），
∴當x∈[0，3]時f′（x）≥0，則函數在[0，3]上單調遞增
當x∈[3，9]時f′（x）＜0，則函數在[3，9]上單調遞減
當x∈（9，+∞）時f′（x）＞0，則函數在（9，+∞）上單調遞增
∴當x=3時，函數取極大值108，當x=9時，函數取極小值0．
（1）當a，b∈[0，3]時，f（x）在[0，3]上為增函數，
∴

f(a)=a(a-9)2=ka f(b)=b(b-9)2=kb

即在[0，3]上存在兩個不等的實數使得（x-9）²=k
而y=（x-9）²在[0，3]上單調遞減，故不存在滿足條件的k值；
（2）當a，b∈[3，9]時，f（x）在[3，9]上為減函數，
∴

f(a)=a(a-9)2=kb f(b)=b(b-9)2=ka

即a=b，此時實數a，b的值不存在．
（3）當a，b∈（9，+∞）時，f（x）在（9，+∞）上為增函數，
∴

f(a)=a(a-9)2=ka f(b)=b(b-9)2=kb

即在（9，+∞）上存在兩個不等的實數使得（x-9）²=k
而y=（x-9）²在（9，+∞）上單調遞增，故不存在滿足條件的k值；
（4）當a∈[0，3），b∈[3，9]時，3∈[a，b]，f（3）=108=kb
∴k=

108

b

∈[12，36]
（5）當a∈（3，9），b∈[9，+∞）時，9∈[a，b]，f（9）=0=ka
根據題意可知k＞0
∴a=0，不可能成立
（6）令f（x）=x（x-9）²=108解得x=3或12
令f（x）=x（x-9）²=0解得x=0或9
①當a∈[0，3），b∈[9，12）時，
9∈[a，b]，f（9）=0=ka，3∈[a，b]，f（3）=108=kb
根據題意可知k＞0
∴a=0，k=

108

b

∈[9，12]
②當a∈[0，3），b∈[12，+∞）時，
9∈[a，b]，f（9）=0=ka，
根據題意可知k＞0
∴a=0，
且f（b）=b（b-9）²=kb
k=（b-9）²≥9
綜上所述：k∈[9，+∞）
故最小的k值為9
故選B．

點評：本題主要考查了函數與方程的綜合應用，利用導數研究函數的單調性和極值，解題的關鍵是理解題意，將問題正確轉化，進行分類討論探究，同時考查了分類討論的思想，方程的思想，考察了推理判斷能力，是一道綜合性較強的題，思維難度大，解題時要嚴謹，屬于難題．