Question

如圖，有兩座建筑物AB和CD都在河的對岸（不知道它們的高度，且不能到達對岸），某人想測量兩座建筑物尖頂A、C之間的距離，但只有卷尺和測角儀兩種工具．若此人在地面上選一條基線EF，用 卷尺測得EF的長度為a，并用測角儀測量了一些角度：∠AEF=α，∠AFE=β，∠CEF=θ，∠CFE=φ，∠AEC=γ．請你用文字和公式寫出計算A、C之間距離的步驟和結果．

Answer 1

分析：在三角形AEF中，利用正弦定理列出關系式，表示出AE，在三角形CEF中，同理表示出CE，在三角形ACE中，利用余弦定理列出關系式，將AE，CE的值代入即可得到AC的長．

解答：解：在△AEF中，利用正弦定理得：

AE

sinβ

=

EF

sin(180°-α-β)

，
解得：AE=

asinβ

sin(α+β)

，
在△CEF中，同理得到CE=

asinφ

sin(θ+φ)

，
則在△ACE中，利用余弦定理得：AC=

AE2+CE2-2AE•CE•cosγ

=

a2sin2β sin2(α+β) + a2sin2φ sin2(θ+φ) - 2a2sinβsinφcosγ sin(α+β)sin(θ+φ)

．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，熟練掌握定理是解本題的關鍵．