Question

選修4-1：幾何證明選講
如圖，已知PA與圓O相切于點A，經過點O的割線PBC交圓O于B、C兩點，∠APC的平分線分別交AB、AC于點D、E．
（I）證明：AD=AE；
（II）已知∠C=30°，求

PC

PA

的值．

Answer 1

分析：（I）由PA與圓O相切于點A，AB是弦，知∠PAB=∠C，由∠APD=∠CPE，知∠PAB+∠APD=∠C+∠CPE，由此能夠證明AD=AE．
（II）由∠PAB=∠C=30°，∠APC=∠BPA，知△APC∽△BPA，故

PC

PA

=

CA

AB

．由BC是圓O的直徑，知∠BAC=90°，由此能求出

PC

PA

的值．

解答：（I）證明：PA與圓O相切于點A，AB是弦，
∴∠PAB=∠C，
又∵∠APD=∠CPE，
∴∠PAB+∠APD=∠C+∠CPE，
∵∠ADE=∠PAB+∠APD，
∠AED=∠C+∠CPE，
∴∠ADE=∠AED，
∴AD=AE．
（II）解：由（I）知∠PAB=∠C=30°，
∵∠APC=∠BPA，
△APC∽△BPA，
∴

PC

PA

=

CA

AB

．
∵BC是圓O的直徑，∴∠BAC=90°．
在Rt△ABC中，C=30°，

CA

AB

=

1

tanC

=

1

tan30°

=

3

，
∴

PC

PA

=

CA

AB

=

3

．

點評：本題考查與圓有關的比例線段的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意弦切角定理的合理運用．