Question

已知數列的各項均為整數，其前6項依次構成等比數列，且從第5項起依次構成等差數列．

（1）設數列的前項和為，且，．

①求滿足的的最小值；

②是否存在正整數，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．

（2）設數列的前6項均為正整數，公比為，且，求的最小值．

Answer 1

（1）①設數列的前6項等比數列的公比為，從第5項起等差數列的公差為d．

由，，則；

又，解得或（舍，因為為整數），

所以，．故．……2分

所以…………4分

∵  ∴  由得

所以，滿足的的最小值為18．……………………………6分

②假設存在正整數，使得成立，

即     由或得

所以，存在正整數，使得成立．…………………10分

（Ⅱ）設，由，…，都是正整數，則必為有理數．

設，其中s，r都是正整數，且，，則．

由，得，所以是的整數倍．

因此，．……………14分

當，時，即，時，取到最小值243．……16分