Question

10．如圖，在平面直角坐標系xOy中，點$P（1，\frac{3}{2}）$和動點Q（m，n）都在離心率為$\frac{1}{2}$的橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）上，其中m＜0，n＞0．
（1）求橢圓的方程；
（2）若直線l的方程為3mx+4ny=0，點R（點R在第一象限）為直線l與橢圓的一個交點，點T在線段OR上，且QT=2．
①若m=-1，求點T的坐標；
②求證：直線QT過定點S，并求出定點S的坐標．

Answer 1

分析 （1）由離心率$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，a=2c，$b=\sqrt{{a^2}-{c^2}}=\sqrt{3}c$，點$P（1，\frac{3}{2}）$在橢圓上，代入即可求得c的值，即可求得橢圓方程；
（2）①設$T（t，-\frac{3m}{4n}t）$，由|QT|=2，由兩點直線的距離公式可知：$（\frac{{9{m^2}}}{{16{n^2}}}+1）{t^2}-\frac{1}{2}mt+{m^2}+{n^2}-4=0$，將Q點代入橢圓方程，${m^2}=4-\frac{{4{n^2}}}{3}$，代入$t=\frac{{4{n^2}}}{12-3m}$，由m=-1，即可求得T點坐標；②由①可知，$T（\frac{{4{n^2}}}{12-3m}，-\frac{mn}{4-m}）$，利用斜率公式可知：k_QT=$\frac{n}{m-1}$，直線QT的方程為$y-n=\frac{n}{m-1}（x-m）$，即$y=\frac{n}{m-1}（x-1）$，
直線QT過定點（1，0）．

解答 解：（1）由題意，橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）焦點在x軸上，離心率$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，
∴a=2c，$b=\sqrt{{a^2}-{c^2}}=\sqrt{3}c$，
∵點$P（1，\frac{3}{2}）$在橢圓上，
∴$\frac{1^2}{{4{c^2}}}+\frac{{{{（\frac{3}{2}）}^2}}}{{3{c^2}}}=1$，
解得：c=1，
∴$a=2，b=\sqrt{3}$，
∴橢圓C的標準方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；　 …（5分）
（2）①設$T（t，-\frac{3m}{4n}t）$，其中0＜t＜2，
∵|QT|=2，
∴$\sqrt{{{（m-t）}^2}+{{[n-（-\frac{3m}{4n}t）]}^2}}=2$，
即$（\frac{{9{m^2}}}{{16{n^2}}}+1）{t^2}-\frac{1}{2}mt+{m^2}+{n^2}-4=0$，（*）            …（7分）
∵點Q（m，n）在橢圓上，
∴$\frac{m^2}{4}+\frac{n^2}{3}=1$，則${m^2}=4-\frac{{4{n^2}}}{3}$，代入（*）式，
得$（\frac{{9+{n^2}}}{{4{n^2}}}）{t^2}-\frac{1}{2}mt-\frac{1}{3}{n^2}=0$，$△={（-\frac{1}{2}m）^2}-4（\frac{{9+{n^2}}}{{4{n^2}}}）（-\frac{1}{3}{n^2}）=4$，
∴$t=\frac{{\frac{1}{2}m+2}}{{2×\frac{{9+{n^2}}}{{4{n^2}}}}}=\frac{{4{n^2}}}{12-3m}＞0$或$t=\frac{{\frac{1}{2}m-2}}{{2×\frac{{9+{n^2}}}{{4{n^2}}}}}＜0$，
∵0＜t＜2，
∴$t=\frac{{4{n^2}}}{12-3m}$，…（9分）
∴$T（\frac{{4{n^2}}}{12-3m}，-\frac{mn}{4-m}）$，
由題意，m=-1，
∴$\frac{{{{（-1）}^2}}}{4}+\frac{n^2}{3}=1$，
∵n＞0，
∴$n=\frac{3}{2}$，
則T點坐標，$T（\frac{3}{5}，\frac{3}{10}）$…（11分）
②證明：由①可知，$T（\frac{{4{n^2}}}{12-3m}，-\frac{mn}{4-m}）$，
∴直線QT的斜率${k_{QT}}=\frac{{n-（-\frac{mn}{4-m}）}}{{m-\frac{{4{n^2}}}{12-3m}}}=\frac{12n}{{12m-（3{m^2}+4{n^2}）}}=\frac{12n}{12m-12}=\frac{n}{m-1}$，…（13分）
∴直線QT的方程為$y-n=\frac{n}{m-1}（x-m）$，
即$y=\frac{n}{m-1}（x-1）$，
∴直線QT過定點S（1，0）． …（16分）

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單幾何性質，考查只有與橢圓的位置關系，直線的斜率公式，考查計算能力，屬于中檔題．