Question

我國是世界上嚴重缺水的國家之一，城市缺水問題較為突出．某市政府為了節約生活用水，計劃在本市試行居民生活用水定額管理，為此市政府首先采用抽樣調查的方法獲得了n位居民某年的月均用水量（單位：噸）．根據所得的n個數據按照區間[0，0.5），[0.5，1），[1，1.5），[1.5，2），[2，2.5），[2.5，3），[3，3.5），[3.5，4），[4，4.5]進行分組，得到頻率分布直方圖如圖
（1）若已知n位居民中月均用水量小于1噸的人數是12，求n位居民中月均用水量分別在區間[2，2.5）和[2.5，3）內的人數；
（2）在該市居民中隨意抽取10位，求至少有2位居民月均用水量在區間[2，2.5）或[2.5，3）內的概率．（精確到0.01．參考數據：0.61⁹≈0.012，0.61¹⁰≈0.0071）

Answer 1

分析：（1）根據頻率直方圖可得n位居民中月均用水量小于1噸的頻率，根據頻率直方圖可得n位居民中月均用水量在區間[2，2.5）內的人數，得到結果．
（2）要求居民月均用水量在區間[2，2.5）內和居民月均用水量在區間[2.5，3）內的概率，這兩個事件是互斥事件，做出概率，分析出變量符合二項分布，得到結果．

解答：解：（1）根據頻率直方圖可得n位居民中月均用水量小于1噸的頻率為（0.08+0.16）×0.5=0.12
∴n=

12

0.12

=100（人）
∴根據頻率直方圖可得n位居民中月均
用水量在區間[2，2.5）內的人數是0.5×0.5×100=25，
在[2.5，3）內的人數是0.28×0.5×100=14
（2）設A、B分別表示隨機事件“居
民月均用水量在區間[2，2.5）內”和
“居民月均用水量在區間[2.5，3）內”，
則事件A、B互斥．
∴居民月均用水量在區間[2，2.5）或[2.5，3）內的概率是P=P(A∪B)=P(A)+P(B)=

25

100

+

14

100

=

39

100

=0.39
設X表示10位居民中月均用水量在區間[2，2.5）或[2.5，3）內的人數，則X～B（10，0.39）
∴所求概率是P（X≥2）=1-P（X=0）-P（X=1）=1-C₁₀⁰×0.39⁰×0.61¹⁰-C₁₀¹×0.39¹×0.61⁹
≈1-0.0071-10×0.39×0.012≈0.95

點評：本題考查頻率分步直方圖和互斥事件的概率應用，本題是一個基礎題，題目的運算量較小，解題的關鍵是讀圖．