Question

給定函數f（x）=log_a|log_ax|（a＞0，a≠1）．
（1）當f（x）＞0時，求x的取值范圍；
（2）當0＜a＜1，x＞1時，判斷f（x）的單調性并予以證明．

Answer 1

分析：（1）對a值分類討論：0＜a＜1時；a＞1時，根據當a＞1時，f（x）在定義域內是增函數，可推斷出f（x）＞0，進而可知|log_ax|＞1進而求得x的范圍，同理求出當0＜a＜1時的x的取值范圍．
（2）利用定義法（作差法），任取x₁，x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂，確定f（x₁）-f（x₂）的符號，即可根據單調性的定義得到結論．

解答：解：（1）0＜a＜1時，由f（x）＞0⇒0＜|log_ax|＜1⇒0＜log_ax＜1或-1＜log_ax＜0，
∴a＜x＜1或1＜x＜

1

a

．
a＞1時，由f（x）＞0⇒|log_ax|＞1⇒log_ax＞1或log_ax＜-1，
∴x＞a或0＜x＜

1

a

．
（2）當0＜a＜1，x＞1時，f（x）單調遞減．證明如下：
設1＜x₁＜x₂，f(x1)-f(x2)=loga(-logax1)-loga(-logax2)=loga

logax1

logax2

=logalogx2x1，
由于1＜x₁＜x₂，
所以0＜logx2x1＜logx2x2=1，又0＜a＜1，故logalogx2x1＞0．
∴f（x）單調遞減．

點評：本題考查的知識點是帶絕對值的函數、函數單調性的判斷與證明，對數運算性質，是必須一難點的集中考查，熟練掌握函數單調性、對數的運算性質是解答的關鍵．