Question

已知實數x、y滿足x²+y²≤1，則|x+y|+|y+1|+|2y-x-4|的取值范圍是

[5-

2

，7]

．

Answer 1

分析：令x=cosθ，y=sinθ，θ∈[-π，π]，z=|x+y|+|y+1|+|2y-x-4|，化簡可得z=|

2

sin（θ+

π

4

）|+5+cosθ-sinθ．
當θ∈[-

π

4

，

3π

4

]時，化簡z，并求出其范圍，當θ∈[-π，-

π

4

]∪[

3π

4

，π]時，化簡z，并求出其范圍，將這兩個范圍取并集即為所求．

解答：解：令x=cosθ，y=sinθ，θ∈[-π，π]．
設 z=|x+y|+|y+1|+|2y-x-4|=|cosθ+sinθ|+|sinθ+1|+|2sinθ-cosθ-4|=|cosθ+sinθ|+sinθ+1+（-2sinθ+cosθ+4）
=|

2

sin（θ+

π

4

）|+5+cosθ-sinθ．
當θ∈[-

π

4

，

3π

4

]時，cosθ+sinθ=

2

sin（θ+

π

4

）≥0，z=cosθ+sinθ+5+cosθ-sinθ=5+2cosθ，
 5-

2

≤z≤7．
當θ∈[-π，-

π

4

]∪[

3π

4

，π]時，cosθ+sinθ=

2

sin（θ+

π

4

）≤0，z=-（cosθ+sinθ）+5+cosθ-sinθ=5-2sinθ，
  5-

2

≤z≤7．
綜上，5-

2

≤z≤7，
故答案為：[5-

2

，7]．

點評：本題主要考查帶絕對值的函數，三角恒等代換，正弦函數的定義域和值域，體現了分類討論的數學思想，屬于中檔題．