Question

已知數列{a_n}為遞增的等比數列，且{a₁，a₂，a₃}?{-3，-2，-1，0，1，2，3，4}．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）是否存在等差數列{b_n}，使a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=（2n-3）×2ⁿ+3對一切n∈N^*都成立？若存在，求出{b_n}的通項公式，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知條件可得：a₁=1，a₂=2，a₃=4，進而得出公比和通項公式；
（2）利用遞推式即可得出a_nb_n，進而得到b_n，利用a₁即可得到b₁．

解答：解：（1）由已知條件可得：a₁=1，a₂=2，a₃=4．
設數列{a_n}的公比為q，則q=

a2

a1

=2，
∴數列{a_n}的通項公式為：an=2n-1，(n∈N*)；   
（2）假設存在等差數列{b_n}，使a1b1+a2b2+…+anbn=(2n-3)×2n+3對一切n∈N^*都成立，
則a1b1+a2b2+…+an-1bn-1=[2(n-1)-3]×2n-1+3=(2n-5)×2n-1+3，(n≥2)
將以上兩式相減得：anbn=(2n-1)×2n-1，
∴2n-1•bn=(2n-1)×2n-1，解得b_n=2n-1，（n≥2），
又a₁b₁=（2-3）×2+3=1且a₁=1，
∴b₁=1滿足b_n=2n-1，
∴b_n=2n-1，（n∈N*），
∴存在等差數列{b_n}滿足題意且數列{b_n}的通項公式為b_n=2n-1，（n∈N*）．

點評：熟練掌握等比數列的定義、通項公式、遞推式的含義等是解題的關鍵．