Question

在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，側棱PA⊥底面ABCD，AB=1，直線PB與底面ABCD所成的角為45°，四棱錐P-ABCD的體積V=

2

3

，E為PB的中點，點F在棱BC上移動．
（1）求證：PF⊥AE；
（2）當F為BC中點時，求點F到平面BDP的距離；
（3）在側面PAD內找一點G，使GE⊥平面PAC．

Answer 1

分析：方法一：
（1）觀察圖形可知：BC⊥平面PAB，則PF在平面PAB上的射影是PB，AE⊥PB，所以由三垂線定理得：PF⊥AE
（2）求點到面的距離，常用方法有體積法，作垂線求垂線段的長度．這題由PA⊥底面ABCD可知：三棱錐V_P-BDF=V_F-BDP，體積較易求得，所以這題我們可以考慮用體積法求解
（3）尋找直線與平面垂直，可以通過平面與平面垂直進行轉化，平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD=AC，所以在平面ABCD內，過B作BF⊥AC交AD于F，連接PF，設PF的中點為G，連接GE，則GE∥BF，則GE⊥平面PAC
方法二：
以A為坐標原點，直線AB、AD、AP分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標系，設BF=x，則A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，2，0），D（0，2，0），P（0，0，1），F（1，x，0），E（

1

2

，0，

1

2

）．這種解法的好處就是：（1）解題過程中較少用到空間幾何中判定線線、面面、線面相對位置的有關定理，因為這些可以用向量方法來解決．（2）即使立體感稍差一些的學生也可以順利解出，因為只需畫個草圖以建立坐標系和觀察有關點的位置即可．

解答：解：
方法一：
（1）∵PA⊥底面ABCD，∠PBA是側棱PB與底面ABCD所成的角，
∴∠PBA=45°
∵AB=1，∴PA=1
∵V=

1

3

AB*AD*PA=

2

3

∴AD=2，
∵PA⊥底面ABCD
∴PA⊥BC
∵AB⊥BC
∴BC⊥平面PAB
∴PF在平面PAB上的射影是PB
∵AE?平面PAB，AE⊥PB
∴由三垂線定理得：PF⊥AE

（2）設點F到平面BDP的距離為h
則由V_P-BDF=V_F-BDP得：

1

3

S_△BDF*PA=

1

3

S_△BDF*h
∴h=

S△BDF

S△BDP

=

1 2

3 2

=

1

3

（3）在平面ABCD內，過B作BF⊥AC交AD于F，連接PF，設PF的中點為G，連接GE，則GE∥BF．
∵BF⊥AC，BF⊥PA
∴BF⊥平面PAC
∴GE⊥平面PAC

方法二：
（1））∵PA⊥底面ABCD，∠PBA是側棱PB與底面ABCD所成的角，
∴∠PBA=45°
∵AB=1，∴PA=1
∵V=

1

3

AB*AD*PA=

2

3

∴AD=2，
以A為坐標原點，直線AB、AD、AP分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標系，
設BF=x，則A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，2，0），D（0，2，0），P（0，0，1），F（1，x，0），E（

1

2

，0，

1

2

）
∵

PF

•

AE

=（1，x，-1）•（

1

2

，0，

1

2

）=0
∴PF⊥AE

（2）∵F為BC的中點
∴F（1，1，0），從而

PF

=（1，1，-1），

BD

=（-1，2，0），

BP

=（-1，0，1），
設平面BDP的法向量為

n

=（a，b，c），則：

n • BD =0 n • BP =0

即

-a+2b=0 -a+c=0

得

a=2b a=c

令b=1得，

n

=（2，1，2）
∴點F到平面BDP的距離為h=

| PF • n |

| n |

=

2+1-2

3

=

1

3

（3）設G（0，m，n），則

GE

=（

1

2

，-m，

1

2

-n）
由GE⊥平面PAC可得

GE • AP =0 GE • AC =0

即

1 2 -n=0 1 2 -2m=0

∴

m= 1 4 n= 1 2

∴滿足條件的點為G（0，

1

4

，

1

2

）

點評：本小題主要考查空間線面關系、幾何體的體積應用、解三角形等基礎知識，考查數形結合、化歸與轉化的數學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力．