Question

已知定義域為[0，1]的函數同時滿足以下三個條件：①對任意x∈[0，1]，總有f（x）≥0；②f（1）=1；③若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，則有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）成立．
（1）求f（0）的值；
（2）函數g（x）=2^x-1在區間[0，1]上是否同時適合①②③？并予以證明；
（3）假定存在x∈[0，1]，使得f（x）∈[0，1]，且f（f（x））=x，求證：f（x）=x．

Answer 1

【答案】分析：（1）由①知：f（0）≥0；由③知f（0）≤0，從而得到f（0）=0．
（2）由題設知g（1）=1；由x∈[0，1]知2^x∈[1，2]，得g（x）∈[0，1]，有g（x）≥0；設x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，則，；由此能夠證明函數g（x）=2^x-1在區間[0，1]上同時適合①②③．
（3）若f（x）＞x，則由題設知f（x）-x∈[0，1]，且由①知f[f（x）-x]≥0，由此入手能證明f（x）=x．
解答：解：（1）由①知：f（0）≥0；由③知：f（0+0）≥f（0）+f（0），即f（0）≤0；
∴f（0）=0
（2 ） 證明：由題設知：g（1）=2-1=1；
由x∈[0，1]知2^x∈[1，2]，得g（x）∈[0，1]，有g（x）≥0；
設x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，則，；
∴
即g（x₁+x₂）≥g（x₁）+g（x₂）
∴函數g（x）=2^x-1在區間[0，1]上同時適合①②③．
（3）證明：若f（x）＞x，則由題設知：f（x）-x∈[0，1]，且由①知f[f（x）-x]≥0，
∴由題設及③知：x=f（f（x））=f[（f（x）-x）+x]=f[f（x）-x]+f（x）≥f（x）
矛盾；
若f（x）＜x，則則由題設知：x-f（x）∈[0，1]，且由①知f[x-f（x）]≥0，
∴同理得：f（x）=f[（x-f（x））+f（x）]=f[x-f（x）]+f（f（x））≥f（f（x））=x，矛盾；
故由上述知：f（x）=x．
點評：本題考查函數值的求法和函數恒成立問題的應用，解題時要認真審題，仔細解答．