Question

已知圓C：x²+y²-2x-4y-20=0
（1）直線l過點P（4，-4）被圓C截得的弦長為8，求直線l的方程；
（2）已知Q（3，1）為圓內一點，求以Q為中點的弦所在直線方程．

Answer 1

分析：（1）化已知圓為一般式，得到圓心C（1，2），半徑r=5．利用垂徑定理結合題意建立關系式，得出圓心到直線的距離為d=3，再利用直線方程的點斜式方程和點到直線的距離公式列式，即可解出滿足條件的直線l的方程；
（2）根據垂徑定理知以Q為中點的弦垂直于點Q與圓心C的連線，從而算出弦所在直線斜率，求出直線方程2x-y-5=0，即為以Q為中點的弦所在直線方程．

解答：解：（1）圓方程可化為（x-1）²+（y-2）²=5，
∴圓心C（1，2），半徑r=5…（2分）
設圓心C到l的距離為d，則d2+(

|AB|

2

)2=r2，
∴d=

r2-( AB 2 )2

=

52-42

=3…（4分）
當直線l的斜率不存在時，則l的方程為x=4，
點C（1，2）到l的距離為d=|4-1|=3，符合題意…..（6分）
當直線l的斜率存在時，設l的方程為y+4=k（x-4），即kx-y-4k-4=0
d=

|k-2-4k-4|

k2+(-1)2

=

|3k+6|

k2+1

=3，解得k=-

3

4

…（8分）
∴直線l的方程為3x+4y+4=0…．（9分）
綜上所述，直線l的方程為x=4或3x+4y+4=0…..（10分）
（2）根據垂徑定理，可知以Q為中點的弦垂直于點Q與圓心C的連線，
∵CQ的斜率kCQ=-

1

2

，∴弦所在直線斜率k=2…．（12分）
因此，弦所在直線方程為y-1=2（x-3），
化成一般式得2x-y-5=0，即為以Q為中點的弦所在直線方程…．（14分）

點評：本題給出定圓與定點，求滿足條件的直線方程．著重考查了圓的方程、直線的方程和直線與圓的位置關系等知識，屬于中檔題．