Question

已知圓A：（x+2）²+y²=和圓B：（x-2）²+y²=，若圓P與圓A、圓B均外切，
（Ⅰ）求圓心P的軌跡方程；
（Ⅱ）延長(zhǎng)PB與點(diǎn)P的軌跡交于另一點(diǎn)Q，若PQ的中點(diǎn)R在直線l：x=a（a≤）上的射影C滿足：•=0，求a的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）設(shè)動(dòng)圓的半徑為r，則PA=r+，PB=r+1，兩式相減得PA-PB=2，
由雙曲線的定義知點(diǎn)P的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，由A（-2，0），B（2，0），
故 2a=2，c=2，∴b=，故其方程為x²-=1（x≥1）．
（Ⅱ）由 •=0知，⊥，故P、Q、C 構(gòu)成直角三角形，點(diǎn)R到直線l的距離等于
RC==x_R-a ①．
當(dāng)PQ的斜率不存在時(shí)，R與 B重合，a=-1，滿足條件．
當(dāng)PQ的斜率存在時(shí)，設(shè)PQ的方程為 y=k（x-2），代入雙曲線方程得：（3-k²）x²+4k²x-（4k²+3）=0，
則由 解得 k²＞3，且 x_R==，
PQ=•|x₁-x₂|=，代入①可得 a==-1-，
由 k²＞3，得 a＜-1．
綜上，a≤-1．
分析：（Ⅰ）由兩圓外切的性質(zhì)得PA-PB=2，再由雙曲線的定義知點(diǎn)P的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，
依據(jù)雙曲線的性質(zhì)求出雙曲線的方程．
（Ⅱ） 由直角三角形的性質(zhì)得RC==x_R-a，把PQ的方程的方程代入雙曲線方程，利用判別式以根與系數(shù)的
關(guān)系，得到k²的范圍，由弦長(zhǎng)公式求出PQ，結(jié)合k²的范圍求出a 的范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的定義，直線和圓，圓和圓的位置關(guān)系，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想．由直角三角形PQC中，
得到RC==x_R-a 是解題的突破口．