Question

函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)可導(dǎo)，導(dǎo)函數(shù)f'（x）是減函數(shù)，且f′（x）＞0。設(shè)x₀∈（0，+∞），y=kx+m是曲線y=f（x）在點(diǎn)（x₀，f（x₀））的切線方程，并設(shè)函數(shù)g（x）=kx+m。
（1）用x₀、f（x₀）、f′（x₀）表示m；
（2）證明：當(dāng)x₀∈（0，+∞）時(shí)，g（x）≥f（x）；
（3）若關(guān)于x的不等式x²+1≥ax+b≥在上恒成立，其中a、b為實(shí)數(shù)，求b的取值范圍及a與b所滿足的關(guān)系。

Answer 1

解：（1）。
（2）令
則
因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20111110/20111110161723765914.gif">遞減，
所以遞增，
因此，當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，
所以是h（x）唯一的極值點(diǎn)，且是極小值點(diǎn)，
可知h（x）的最小值為0，
因此
即。
（3），是不等式成立的必要條件，以下討論設(shè)此條件成立
，即對(duì)任意成立的充要條件是

另一方面，由于滿足前述題設(shè)中關(guān)于函數(shù)的條件，
利用（2）的結(jié)果可知，的充要條件是：過(guò)點(diǎn)（0，b）與曲線相切的直線的斜率大于，該切線的方程為
于是的充要條件是
綜上，不等式對(duì)任意成立的充要條件是
 ①
顯然，存在a、b使①式成立的充要條件是：不等式 ②有解
解不等式②得③
因此，③式即為b的取值范圍，①式即為實(shí)數(shù)在a與b所滿足的關(guān)系。