Question

某油料庫已儲油料a噸，按計劃正式運營后的第一年進油量為已儲油量的25％，以后每年的進油量為上一年底儲油量的25％，且每年運出b噸．設為正式運營第n年底的儲油量．

(Ⅰ)求的表達式并加以證明；

(Ⅱ)為抵御突發(fā)事件，該油庫年底儲油量不得少于a噸，如果b＝a噸，該油庫能否長期按計劃運營，如果可以請加以證明，如果不行請說明理由．

(取lg2＝0.30，lg3＝0.48)

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)依題意，油庫原有儲油量為a噸，則a1＝a－b， 　　a2＝a1－b＝a－(＋1)b， 　　a3＝a2－b＝a－[＋＋1]b， 　　推測：an＝a－[＋＋…＋＋1]b 　　　　　＝a－4[－1]b　　(n∈N)． 　　用數(shù)學歸納法證明： 　　(1)當n＝1時，a1＝a－4[－1]b＝a－b，推測成立 　　(2)假設當n＝k(k≥1，k∈N)時，ak＝a－4[－1]b成立． 　　當n＝k＋1時，依題意ak+1＝ak－b． 　　∴ak+1＝{a－4[－1]b}－b 　　＝a－4[－]b－b 　　＝a－4[－1]b 　　即當n＝k＋1時，推測也成立．由(1)(2)知，對于n∈N，推測成立．　　(Ⅱ)如果b＝a噸時，該油庫第n年年底儲油量不少于a噸，即 　　a－4[－1]·a≥a． 　　即≤3．n≤3＝＝＝＝4.8． 　　說明該油庫只能在5年內運營，因此不能長期運營．