Question

9個正數排成3行3列如下：
a₁₁  a₁₂  a₁₃
a₂₁  a₂₂  a₂₃
a₃₁  a₃₂  a₃₃
其中每一行的數成等差數列，每一列的數成等比數列，并且所有公比相等，已知a₁₂=1，a₂₃=

3

4

，a₃₂=

1

4

．
（Ⅰ）a₁₁，及第一行的數所成等差數列的公差d₁，每一列的數所成等比數列的公比q；
（Ⅱ）若保持這9個正數不動，仍使每一行的數成等差數列，每一列的數成等比數列，補做成一個n行n列的數表．
a₁₁  a₁₂  a₁₃ …a_1n
a₂₁  a₂₂  a₂₃ …a_2n
a₃₁  a₃₂  a₃₃ …a_3n
…
a_n1  a_n2  a_n3 …a_nn
記S_n=a₁₁+a₂₂+…+a_nn，求S_n；
（Ⅲ）若S_n為（Ⅱ）中所述，求

lim

n→∞

(Sn+

n+1

2n

)的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題設，得

a12=a11+d1=1 a23=(a11+2d1)•q= 3 4 a32=(a11+d1)•q2= 1 4 aij＞0(i，j=1，2，3).

，解方程組求得a₁₁、及公差d₁、公比q的值．
（Ⅱ）根據 a_kk=a_1k•q^k-1=[a₁₁+（k-1）d₁]•q^k-1 =k•（

1

2

）^k?，可得S_n =

1

2

+2•（

1

2

）²+3•（

1

2

）³+…+n•（

1

2

）ⁿ，①再用錯位相減法求得S_n的值．
（Ⅲ）根據

lim

n→∞

(Sn+

n+1

2n

)=

lim

n→∞

(2-

n+2

2n

+

n+1

2n

)=

lim

n→∞

(2-

1

2n

)，再利用數列極限的運算法則求得結果．

解答：解：（Ⅰ）由題設，得

a12=a11+d1=1 a23=(a11+2d1)•q= 3 4 a32=(a11+d1)•q2= 1 4 aij＞0(i，j=1，2，3).

，∴

a11= 1 2 d1= 1 2 q= 1 2 .

．（5分）
（Ⅱ）a_kk=a_1k•q^k-1=[a₁₁+（k-1）d₁]•q^k-1=[

1

2

+(k-1)•

1

2

]•（

1

2

）^k-1=k•（

1

2

）^k?，
∴S_n=a₁₁+a₂₂+a₃₃+…+a_nn =

1

2

+2•（

1

2

）²+3•（

1

2

）³+…+n•（

1

2

）ⁿ，①
∴

1

2

Sn=（

1

2

）²+2•（

1

2

）³+3•（

1

2

）⁴+…+（n-1）•（

1

2

）ⁿ+n•（

1

2

）ⁿ⁺¹． ②
①-②得，

1

2

S_n=

1

2

+（

1

2

）²+（

1

2

）³+…+（

1

2

）ⁿ-n•（

1

2

）ⁿ⁺¹ =

1 2 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

-n•(

1

2

)n+1，
∴S_n=2-

n+2

2n

．（10分）
（Ⅲ）

lim

n→∞

(Sn+

n+1

2n

)=

lim

n→∞

(2-

n+2

2n

+

n+1

2n

)=

lim

n→∞

(2-

1

2n

)=2．（14分）

點評：本題主要考查等差數列、等比數列的定義和性質、前n項和公式的應用，數列極限的運算法則，用錯位相減法進行數列求和，屬于中檔題．