Question

已知兩個非零向量，且與的夾角是鈍角或直角，則m+n的取值范圍是（ ）
A．
B．[2，6]
C．
D．（2，6）

Answer 1

【答案】分析：由題意得，≤0，（m-2）²+（n-2）²≤2，點（m，n）在以（2，2）為圓心，以為半徑的圓面上，
包含圓，但不包括直線y=x與圓的2個交點，令m≤2+cosθ，n≤2+sinθ，則m+n=4+2sin（θ+），
由sinθ和cosθ 不能相等或相反，可得-1＜sin（θ+）＜1，從而求得m+n 的范圍．
解答：解：∵與的夾角是鈍角或直角，∴≤0，∴（m-1）（m-3）+（n-1）（n-3）≤0，
即 （m-2）²+（n-2）²≤2，故點（m，n）在以（2，2）為圓心，以為半徑的圓面上，
包含圓，但不包括直線y=x與圓的2個交點（否則兩個向量共線）．
可令m≤2+cosθ，n≤2+sinθ，則 sinθ和cosθ 不能相等或相反，∴-1＜sin（θ+）＜1，
∴m+n=4+2sin（θ+）∈（2，6），
故選D．
點評：本題考查用兩個向量的數量積表示兩個向量的夾角，正弦函數的值域，得到（m-2）²+（n-2）²≤2，是解題的關鍵．