Question

若不等式3cos³x-2cos2x+1≤k對任何x∈R都成立，則實數k的最小值為（ ）
A．-4
B．
C．2
D．3

Answer 1

【答案】分析：把已知的不等式的左邊第2項利用二倍角的余弦函數公式化簡后，合并并設為y，則y小于等于k恒成立，即求出y的最大值，y最大值的求法是，求出函數y的導函數為0時x的值，再考慮閉區間的端點值，根據函數的增減性得到y的最大值．讓y的最大值小于等于k即可求出k的范圍，進而求出k的最小值，
解答：解：因為3cos³x-2cos2x+1=3cos³x-2（2cos²x-1）+1=3cos³x-4cos²x+3≤k恒成立，
設y=3x³-4x²+3，x∈[-1，1]，
則y′=9x²-8x=9x（x-），令y′=0，解得x=0或x=，
所以y_max=y（0），y（1）_max=y（0）=3，
則3cos³x-2cos2x+1≤3，即k≥3，所以實數k的最小值為3．
故選D
點評：此題考查學生會利用導數求閉區間上函數的最大值，掌握不等式恒成立時所滿足的條件，是一道綜合題．