Question

函數f（x）=x³+3ax²+3bx+2在x=2處取得極值，其圖象在x=1處的切線與直線x-3y+5=0垂直．
（1）求a，b的值；
（2）當時，xf′（x）≤m-6x²+9x恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）f'（x）=3（x²+2ax+b）
由題意得，解得a=-1，b=0
（2）當時，xf'（x）≤m-6x²+9x恒成立?當時，3x³-9x≤m恒成立
令g（x）=3x³-9x，則g'（x）=9（x+1）（x-1）g（x）在是增函數，（-1，1）是減函數
而，所以當時，g（x）_max=6
故m≥6
分析：（1）由題意及兩個已知條件可以建立a，b的兩個方程．
（2）由題意知屬于函數在定義域上恒成立問題；一般先對解析式變形；一端分解出參數字母m，一端為函數式，要想恒成立等價轉化為字母恒小于或大于函數在定義域下的最值．
點評：此題（1）考查了導數和導數的極值，導數的幾何含義及利用了高中數學中常用的方程的思想求解a，b的值；
此題（2）考查了函數在定義域下恒成立時字母的取值范圍及解題中等價轉化的思想．