Question

在直角坐標(biāo)系中任給一條直線，它與拋物線y²=2x交于A、B兩點(diǎn)，則

OA

•

OB

的取值范圍為

 

．

Answer 1

分析：直線的方程與拋物線方程聯(lián)立，得到關(guān)于y的一元二次方程，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，表達(dá)出兩個(gè)向量的數(shù)量積，即可求

OA

•

OB

的取值范圍．

解答：解：設(shè)l：x=ty+b代入拋物線y²=2x，消去x得y²-2ty-2b=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁+y₂=2t，y₁y₂=-2b，
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=（ty₁+b）（ty₂+b）+y₁y₂=t²y₁y₂+tb（y₁+y₂）+b²+y₁y₂=b²-2b
=（b-1）²-1≥-1，
∴

OA

•

OB

的取值范圍為[-1，+∞）．
故答案為：[-1，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查向量的數(shù)量積的運(yùn)算，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．