Question

設函數f（x）=x³-2x²-4x-7
（Ⅰ）求f（x）的單調區間及極小值；
（Ⅱ）確定方程f（x）=0的根的一個近似值，使其誤差不超過0.5，并說明理由；
（Ⅲ）當a＞2時，證明：對任意的實數x＞2，恒有f（x）≥f（a）+f′（a）（x-a）．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵函數f（x）=x³-2x²-4x-7，∴f^′（x）=3x²-4x-4=（3x+2）（x-2），
令f^′（x）=0，解得x=或2．
列表如下：
由表格可知：函數f（x）的單調遞增區間是，（2，+∞）；單調遞減區間是．
其圖象如圖所示：
在x=2處取得極小值f（2）=-15．
（Ⅱ）∵=＜0，f（3）=-10＜0，f（4）=9＞0．
由（1）可知：函數只有在區間（3，4）內存在唯一的一個零點x₀．
∵|x₀-3.5|≤0.5，
∴取3.5作為x₀的一個近似值可滿足所給的誤差要求．
（Ⅲ）令g（x）=f（x）-f（a）-f^′（a）（x-a），
則g^′（x）=3x²-4x-4-f^′（a）=3x²-4x-4-（3a²-4a-4）=（x-a）[3（x+a）-4]．
∵x＞2，a＞2，∴3（x+a）-4＞0．
∴當2＜x＜a時，g^′（x）＜g^′（a）=0，g（x）在（2，a）上單調遞減；
當x＞a時，g^′（x）＞g^′（a）=0，g（x）在（a，+∞）上單調遞增．
∴函數g（x）在x=a處取得極小值 也即最小值．
∴當x∈（2，+∞），g（x）≥g（a）=0，
從而命題得證．
分析：（Ⅰ）利用函數的對數即可得出；
（Ⅱ）利用（1）的表格和圖象先判斷函數的零點所在的區間，根據誤差要求即可得出；
（Ⅲ）令g（x）=f（x）-f（a）-f^′（a）（x-a），利用導數求其極小值及最小值即可．
點評：熟練掌握導數研究函數的單調性和極值是解題的關鍵．