Question

如圖所示，在平行六面體ABCD－A₁B₁C₁D₁中，已知AB＝5，AD＝4，AA₁＝3，AB⊥AD，∠A₁AB＝∠A₁AD＝．

(1)求證：頂點A₁在底面ABCD上的射影O在∠BAD的平分線上；

(2)求這個平行六面體的體積．

Answer 1

答案：
解析：

　　解(1)如圖，連結A₁O，則A₁O⊥底面ABCD．作OM⊥AB交AB于M，作ON⊥AD交AD于N，連結A₁M，A₁N．由三垂線定得得A₁M⊥AB，A₁N⊥AD．∵∠A₁AM＝∠A₁AN，

　　∴Rt△A₁NA≌Rt△A₁MA，∴A₁M＝A₁N，從而OM＝ON．

　　∴點O在∠BAD的平分線上．

　　(2)∵AM＝AA₁cos＝3×＝

　　∴AO＝＝．

　　又在Rt△AOA₁中，A₁O²＝AA₁²–AO²＝9－＝，

　　∴A₁O＝，平行六面體的體積為．