Question

設函數f（x）是定義在R上的奇函數，且滿足f（x+2）=-f（x）．又當0≤x≤1時，f(x)=

1

2

x，則當-10≤x≤10，方程f(x)=-

1

2

的根的和為

-5

．

Answer 1

分析：由已知中函數f（x）是定義在R上的奇函數，且滿足f（x+2）=-f（x）．我們可得函數f（x）是以4為周期的周期函數，進而根據當0≤x≤1時，f(x)=

1

2

x，可得函數在-10≤x≤10時的圖象，數形結合可得答案．

解答：解：∵函數f（x）是定義在R上的奇函數，
∴f（-x）=-f（x）
又∵f（x+2）=-f（x）．
∴f（x+4）=f[（x+2）+2]=-f（x+2）=f（x）．
即函數f（x）是以4為周期的周期函數
又由當0≤x≤1時，f(x)=

1

2

x，
故函數在[-10，10]上的圖象如下圖所示

由圖可得若f(x)=-

1

2

則x∈{-9，-5，-1，3，7}
故方程f(x)=-

1

2

的根的和為-9+（-5）+（-1）+3+7=-5
故答案為-5

點評：本題考查的知識點是函數的周期性，函數奇偶性的性質，其中根據已知條件畫出函數在-10≤x≤10時的圖象，是解答本題的關鍵．