Question

已知等腰梯形的三邊AB，BC，CD分別與函數(shù)y=-

1

2

x²+2，x∈[-2，2]的圖象切于點(diǎn)P，Q，R，且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x=1，則此梯形的面積為

 

．

Answer 1

分析：由已知中函數(shù)的解析式y(tǒng)=-

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2

x²+2，x∈[-2，2]，及等腰梯形的三邊AB，BC，CD分別與函數(shù)y=-

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x²+2，x∈[-2，2]的圖象切于點(diǎn)P，Q，R，且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x=1，我們易求出直線AB的方程，進(jìn)而求出A，B的坐標(biāo)，進(jìn)而得到梯形的上底、下底及高，代入梯形面積公式，即可得到答案．

解答：解：∵函數(shù)y=-

1

2

x²+2，
∴y′=-x
∵點(diǎn)P橫坐標(biāo)為x=1，
過(guò)P的切線BA的斜率等于P點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，即k=-1
又∵P的坐標(biāo)為（1，

3

2

），
∴AB的所在直線的方程為：y-

3

2

=-（x-1）
即2x+2y-5=0
則A點(diǎn)坐標(biāo)為（

5

2

，0）點(diǎn)，
∵函數(shù)y=-

1

2

x²+2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），BC與X軸平行
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（

1

2

，2）
故梯形ABCD的下底長(zhǎng)為5，上底長(zhǎng)為1，高為2
則梯形ABCD的面積S=6
故答案為：6．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是導(dǎo)數(shù)與直線的斜率，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，其中根據(jù)函數(shù)的解析式，求出導(dǎo)函數(shù)，進(jìn)而求出過(guò)切點(diǎn)P的切線方程，是解答本題關(guān)鍵．