Question

如圖，雙曲線=1（a＞0，b＞0）的離心率為、F₂分別為左、右焦點，M為左準線與漸近線在第二象限內的交點，且．
（I）求雙曲線的方程；
（II）設A（m，0）和（0＜m＜1）是x軸上的兩點．過點A作斜率不為0的直線l，使得l交雙曲線于C、D兩點，作直線BC交雙曲線于另一點E．證明直線DE垂直于x軸．中心O為圓心，分別以a和b為半徑作大圓和．

Answer 1

【答案】分析：（I）設點M（x，y），根據題設條件聯立方程求得M的坐標，根據求得a，b和c的關系利用a²+b²=c²求得c，b和a，答案可得．
（II）設點C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），E（x₃，y₃），則可表示出直線l的方程，直線與雙曲線聯立方程，可求得x₁x₂的表達式，求得x₂的表達式，同理可求得x₃的表達式，最后得出以x₂=x₃，判斷出故直線DE垂直于x軸．
解答：（I）解：根據題設條件，F₁（-c，0），F₂（c，0）．
設點M（x，y），則x、y滿足
因，解得，
故=
利用a²+b²=c²，得，于是
因此，所求雙曲線方程為x²-4y²=1．

（II）解：設點C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），E（x₃，y₃），則直線l的方程為
于是C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂）兩點坐標滿足
將①代入②得（x₁²-2x₁m+m²-4y₁²）x²+8my₁²x-4y₁²m²-x₁²+2mx₁-m²=0．
由已知，顯然m²-2x₁m+1≠0．于是
因為x₁≠0，得
同理，C（x₁，y₁）、E（x₃，y₃）兩點坐標滿足
可解得
所以x₂=x₃，故直線DE垂直于x軸．
點評：本小題主要考查雙曲線的標準方程和幾何性質、直線方程、平面向量、曲線和方程的關系等解析幾何的基礎知識和基本思想方法，考查推理及運算能力．