Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ax²+bx+c的圖象與兩直線y=x，y=-x，均不相交，試證明對(duì)一切x都有|b²-4ac|＞1．

Answer 1

【答案】分析：拋物線與直線不相交，轉(zhuǎn)化為二次方程沒有實(shí)數(shù)根，利用△＜0并化簡(jiǎn)變形即可．
解答：證明：因?yàn)閤∈R，故|f（x）|的最小值若存在，則最小值由頂點(diǎn)確定
故可設(shè)f（x）=a（x-x）²+f（x）．
由題意知，a≠0．設(shè)f（x）=a（x-x）²+f（x）
又二次方程ax²+bx+c=±x無實(shí)根，故
△₁=（b+1）²-4ac＜0，
△₂=（b-1）²-4ac＜0．
∴（b+1）²+（b-1）²-8ac＜0
即2b²+2-8ac＜0，即b²-4ac＜-1
所以|b²-4ac|＞1．
點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)的恒成立問題，關(guān)鍵是利用圖象沒有交點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程沒有實(shí)數(shù)根，屬于基礎(chǔ)題．