Question

對于非空實數集A，記A^*={y|?x∈A，y≥x}．設非空實數集合M、P滿足：M⊆P，且若x＞1，則x∉P．現給出以下命題：
①對于任意給定符合題設條件的集合M、P，必有P^*⊆M^*；
②對于任意給定符合題設條件的集合M、P，必有M^*∩P≠∅；
③對于任意給定符合題設條件的集合M、P，必有M∩P^*=∅；
④對于任意給定符合題設條件的集合M、P，必存在常數a，使得對任意的b∈M^*，恒有a+b∈P^*，
其中正確的命題是（　　）

A．①③

B．③④

C．①④

D．②③

Answer 1

由于非空實數集A，記A^*={y|?x∈A，y≥x}，則A^*中元素為大于A中所有值的數的集合．
①由于M⊆P，假設M中最大值為m，P最大值為p，那么p≥m．因此M^*表示大于m所有數集合，P^*表示所有大于p的數的集合．則P^*⊆M^*，①正確；
②令M=P={x|0＜x＜

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}，則M^*={x|x≥

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}，故M^*∩P=∅，②錯誤；
③令M={x|0＜x＜

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}，P={x|0＜x≤

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}，則M^*={x|x≥

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2

}，故M^*∩P={x|x=

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}≠∅，③錯誤；
④令a=0，則對任意的b∈M^*，恒有a+b∈P^*，④正確．
故答案為C．