Question

已知函數為定義在R上的奇函數，
（1）求a的值并求y=f（x）的單調區間；
（2）當x∈[0，m]時，求函數的值域．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據題意，可得恒成立，分析可得a的值，進而可得f（x）=x³-3x，求導可得單調區間；
（2）由（1）的單調區間與單調性，分兩種情況討論m的值，分析可得答案．
解答：解：（1）因為函數是R上奇函數，
所以恒成立，
化簡得，所以，
可得f（x）=x³-3x，f′（x）=3（x+1）（x-1），
令f′（x）=3（x+1）（x-1）＞0，單增區間為（-∞，-1），（1，+∞）；
令f′（x）=3（x+1）（x-1）＜0，單減區間為（-1，1）（6分）
（2）當m∈（0，1]時，f′（x）＜0，f（x）在[0，m]單減，
值域為[f（m），f（0）]=[m³-3m，0]
當時，f′（1）=0，f（x）在x=1處取得極小值，
值域為[f（1），f（0）]=[-2，0]
當時，f（x）在x=1處取得最小值，
在x=m處取得最大值，值域為[f（1），f（m）]=[-2，m³-3m]（6分）
點評：本題考查函數的奇函數性質的運用，解題時，注意其圖象對稱性的應用．