Question

已知f（x）=a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a_nxⁿ，且a₁，a₂，a₃，…，a_n組成等差數列（n為正偶數），又f（1）=n²，f（-1）=n；
（1）求數列{a_n}的通項a_n；
（2）求f（

1

2

）的值；
（3）比較f（

1

2

）的值與3的大小，并說明理由．

Answer 1

（1）設數列的公差為d，
因為f（1）=a₁+a₂+a₃+…+a_n=n²，則na₁+

n(n-1)

2

d=n²，即2a₁+（n-1）d=2n．
又f（-1）=-a₁+a₂-a₃+…-a_n-1+a_n=n，即

n

2

×d=n，d=2．
解得a₁=1．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（2）f（

1

2

）=（

1

2

）+3（

1

2

）²+5（

1

2

）³+…+（2n-1）（

1

2

）ⁿ，①
兩邊都乘以

1

2

，可得

1

2

f（

1

2

）=（

1

2

）²+3（

1

2

）³+5（

1

2

）⁴+…+（2n-1）（

1

2

）ⁿ⁺¹，②
①-②，得

1

2

f（

1

2

）=

1

2

+2（

1

2

）²+2（

1

2

）³+…+2（

1

2

）ⁿ-（2n-1）（

1

2

）ⁿ⁺¹，
即

1

2

f（

1

2

）=

1

2

+

1

2

+（

1

2

）²+…+（

1

2

）^n-1-（2n-1）（

1

2

）ⁿ⁺¹．
∴f（

1

2

）=1+1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-2

-（2n-1）

1

2n

=1+

1- 1 2n-1

1- 1 2

-（2n-1）

1

2n

=1+2-

1

2n-2

-（2n-1）

1

2n

=3-（2n+3）（

1

2

）ⁿ；
則f（

1

2

）=3-（2n+3）（

1

2

）ⁿ；
（3）由（2）的結論，f（

1

2

）=3-（2n+3）（

1

2

）ⁿ，
又由（2n+3）（

1

2

）ⁿ＞0，
易得3-（2n+3）（

1

2

）ⁿ＜3，
則f（

1

2

）＜3．