Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，F₁，F₂是左右焦點，l是右準線，若橢圓上存在點P，使|PF₁|是P到直線l的距離的2倍，則橢圓離心率的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：設點P到直線l的距離為d，根據橢圓的定義可知|PF₂|比d的值等于c比a的值，由題意知|PF₁|等于2d，且|PF₁|+|PF₂|=2a，聯立化簡得到：|PF₁|等于一個關于a與c的關系式，又|PF₁|大于等于a-c，小于等于a+c，列出關于a與c的不等式，求出不等式的解集即可得到

c

a

的范圍，即為離心率e的范圍，同時考慮e小于1，從而得到此橢圓離心率的范圍．

解答：解：設P到直線l的距離為d，
根據橢圓的第二定義得

|PF2|

d

=e=

c

a

，|PF₁|=2d，且|PF₁|+|PF₂|=2a，
則|PF₁|=2a-|PF₂|=2a-

dc

a

=2d，即d=

2a2

2a+c

，
而|PF₁|∈（a-c，a+c]，即2d=

4a2

2a+c

，
所以得到

4a2 2a+c ≥a-c① 4a2 2a+c ≤a+c②

，由①得：(

c

a

)2+

c

a

+2≥0，

c

a

為任意實數；
由②得：(

c

a

)2+3

c

a

-2≥0，解得

c

a

≥

-3+ 17

2

或

c

a

≤

-3- 17

2

（舍去），
所以不等式的解集為：

c

a

≥

-3+ 17

2

，即離心率e≥

-3+ 17

2

，又e＜1，
所以橢圓離心率的取值范圍是[

-3+ 17

2

，1）．
故答案為：[

-3+ 17

2

，1）

點評：此題考查學生掌握橢圓的定義及橢圓簡單性質的運用，是一道中檔題．