Question

【題目】已知函數f（x）=log4（4x+1）+kx與g（x）=log4（a2x﹣a），其中f（x）是偶函數．

（1）求實數k的值；

（2）求函數g（x）的定義域；

(3)若函數f（x）與g（x）的圖象有且只有一個公共點，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析（3）{a|a＞1或a=﹣3}．

【解析】試題分析：（1）由偶函數定義得f（﹣x）=f（x），根據對數運算法則化簡可得2k=﹣1，即得實數k的值；（2）解含參數不等式，一般方法為先分解因式，再討論各因子符號，即得函數g（x）的定義域；（3）先根據對數運算法則化簡方程f（x）=g（x），去掉對數，再設2x=t，轉化為類二次方程有正解情況，分一次方程，二次方程中分二個相同正根與一個正根一個負根依次討論，最后求并集得實數a的取值范圍．

試題解析：解：（I）f（x）的定義域為R，

∵f（x）=log4（4x+1）+kx是偶函數，

∴f（﹣x）=f（x）恒成立，

即log4（4﹣x+1）﹣kx=log4（4x+1）+kx恒成立，

∴log4=2kx，即log4=2kx，

∴42kx=4﹣x，∴2k=﹣1，即k=﹣．

（II）由g（x）有意義得a2x﹣＞0，即a（2x﹣）＞0，

當a＞0時，2x﹣＞0，即2x＞，∴x＞log2，

當a＜0時，2x﹣＜0，即2x＜，∴x＜log2．

綜上，當a＞0時，g（x）的定義域為（log2，+∞），

當a＜0時，g（x）的定義域為（﹣∞，log2）．

（III）令f（x）=g（x）得log4（4x+1）﹣x=log4（a2x﹣），

∴log4=log4（a2x﹣），即2x+=a2x﹣，

令2x=t，則（1﹣a）t2+at+1=0，，

∵f（x）與g（x）的圖象只有一個交點，

∴f（x）=g（x）只有一解，∴關于t的方程（1﹣a）t2+at+1=0只有一正數解，

（1）若a=1，則+1=0，t=﹣，不符合題意；

（2）若a≠1，且﹣4（1﹣a）=0，即a=或a=﹣3．

當a=時，方程（1﹣a）t2+at+1=0的解為t=﹣2，不符合題意；

當a=﹣3時，方程（1﹣a）t2+at+1=0的解為t=，符合題意；

（3）若方程（1﹣a）t2+at+1=0有一正根，一負根，則＜0，∴a＞1，

綜上，a的取值范圍是{a|a＞1或a=﹣3}．