Question

已知圓C：x²＋y²＋x－6y＋m＝0與直線l：x＋2y－3＝0.
(1)若直線l與圓C沒有公共點，求m的取值范圍；
(2)若直線l與圓C相交于P、Q兩點，O為原點，且OP⊥OQ，求實數m的值．

Answer 1

（1）（2）m＝3

(1)將圓的方程配方，
得²＋(y－3)²＝，
故有＞0，解得m＜.
將直線l的方程與圓C的方程組成方程組，得
消去y，得x²＋²＋x－6×＋m＝0，
整理，得5x²＋10x＋4m－27＝0，  ①
∵直線l與圓C沒有公共點，∴方程①無解，故有Δ＝10²－4×5(4m－27)＜0，解得m＞8.∴m的取值范圍是.
(2)設P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，
由OP⊥OQ，得＝0，即x₁x₂＋y₁y₂＝0，      ②
由①及根與系數的關系，得
x₁＋x₂＝－2，x₁·x₂＝，      ③
又∵P、Q在直線x＋2y－3＝0上，
∴y₁·y₂＝·＝ [9－3(x₁＋x₂)＋x₁·x₂]，
將③代入上式，得y₁·y₂＝，   ④
將③④代入②得x₁·x₂＋y₁·y₂＝＋＝0，解得m＝3.
代入方程①檢驗得Δ＞0成立，∴m＝3.