Question

已知拋物線y²=8x的準線與雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)相交于A，B兩點，點F是拋物線的焦點，若雙曲線的一條漸近線方程是y=2

2

x，且△FAB是直角三角形，則雙曲線的標準方程是（　　）

• A、

  x2

  16

  -

  y2

  2

  =1
• B、x2-

  y2

  8

  =1
• C、

  x2

  2

  -

  y2

  16

  =1
• D、

  x2

  8

  -y2=1

Answer 1

分析：先根據拋物線方程求得準線方程，代入雙曲線方程求得y，根據漸近線方程求出a與b的關系，根據雙曲線的對稱性可知△FAB為等腰直角三角形，進而可求得A或B的縱坐標為4，進而求得a和b，則雙曲線的標準方程可得．

解答：解：依題意知拋物線的準線x=-2．代入雙曲線方程得
y=±

b 4-a2

a

．雙曲線的一條漸近線方程是y=2

2

x，
∴

b

a

=2

2

則不妨設A（-2，2 

2

4-a2

），F（2，0）
∵△FAB是等腰直角三角形，
∴2 

2

4-a2

=4，解得：a=

2

，b=4
∴c²=a²+b²=2+16=20，
∴雙曲線的標準方程是

x2

2

-

y2

16

=1
故選C

點評：本題主要考查了雙曲線的簡單性質，解題的關鍵是通過雙曲線的對稱性質判斷出△FAB為等腰直角三角形，屬于基礎題．