Question

已知函數f（x）=x³-x
（1）求曲線y=f（x）在點M（t，f（t））處的切線方程
（2）設a＞0，如果過點（a，b）可作曲線y=f（x）的三條切線，證明：-a＜b＜f（a）

Answer 1

【答案】分析：（1）求出f′（x），根據切點為M（t，f（t）），得到切線的斜率為f'（t），所以根據斜率和M點坐標寫出切線方程即可；
（2）設切線過點（a，b），則存在t使b=（3t²-1）a-2t³，于是過點（a，b）可作曲線y=f（x）的三條切線即為方程2t³-3at²+a+b=0有三個相異的實數根．記g（t）=2t³-3at²+a+b，求出其導函數=0時t的值，利用t的值分區間討論導函數的正負得到g（t）的單調區間，利用g（t）的增減性得到g（t）的極值，根據極值分區間考慮方程g（t）=0有三個相異的實數根，得到極大值大于0，極小值小于0列出不等式，求出解集即可得證．
解答：解：（1）求函數f（x）的導函數；f'（x）=3x²-1．
曲線y=f（x）在點M（t，f（t））處的切線方程為：y-f（t）=f'（t）（x-t），即y=（3t²-1）x-2t³；
（2）如果有一條切線過點（a，b），則存在t，使b=（3t²-1）a-2t³．
于是，若過點（a，b）可作曲線y=f（x）的三條切線，則方程2t³-3at²+a+b=0有三個相異的實數根．
記g（t）=2t³-3at²+a+b，則g'（t）=6t²-6at=6t（t-a）．
當t變化時，g（t），g'（t）變化情況如下表：

由g（t）的單調性，當極大值a+b＜0或極小值b-f（a）＞0時，方程g（t）=0最多有一個實數根；
當a+b=0時，解方程g（t）=0得，即方程g（t）=0只有兩個相異的實數根；
當b-f（a）=0時，解方程g（t）=0得，即方程g（t）=0只有兩個相異的實數根．
綜上，如果過（a，b）可作曲線y=f（x）三條切線，即g（t）=0有三個相異的實數根，則
即-a＜b＜f（a）．
點評：考查學生會利用導數研究曲線上某點的切線方程，會利用導數研究函數的增減性得到函數的極值．