Question

如圖，在四棱錐P―ABCD中，底面ABCD為正方形，△PAB為等邊三角形，O為AB的中點，且PO⊥AC。

   （Ⅰ）求證：平面PAB⊥平面ABCD。

   （Ⅱ）求D點到平面PBC距離

   （Ⅲ）求二面角P―AC―B的大小。

Answer 1

解法一：（Ⅰ）證明：∵△PAB為等邊三角形，O為AB中點，

    ∴PO⊥AB。

    又PO⊥AC，且AB∩AC=A，

    ∴PO⊥平面ABＣＤ。

　　又PO平面PAB，

∴平面PAB⊥平面ABCD

   （Ⅱ） 

   （Ⅲ）過O做OE⊥AC，垂足為E，連接PE，

∵PO⊥平面ABCD，

由三垂線定理，可知PE⊥AC。

    ∴∠PEO為二面角P―AC―B的平面角。

    設底面正方形邊長為2，可求得OE=。

    又

∴二面角P―AC―B的大小為

    解法二：（Ⅰ）證明：同解法一。

   （Ⅱ）建立如圖的空間直角坐標系       

   （Ⅲ）設為平面PAC的一個法向量，    則

    由A（-1，0，0），P（0，0，），C（1，2，0）。

    可得

   

    令

    得

    又是平面ABC的一個法向量，

    設二面角P―AC―B的大小為，