Question

（本題滿分14分）設(shè)為非負(fù)實(shí)數(shù)，函數(shù).

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并求出零點(diǎn)．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)為；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)，且零點(diǎn)為；

當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)和；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)和.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，           ……2分

①當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞增；

② 當(dāng)時(shí)，，

∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；

綜上所述，的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是.      ……6分

（Ⅱ）（1）當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的零點(diǎn)為；

（2）當(dāng)時(shí)，，

故當(dāng)時(shí)，，二次函數(shù)對稱軸，

∴在上單調(diào)遞增，；

當(dāng)時(shí)，，二次函數(shù)對稱軸，

∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；

∴的極大值為，

 當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)與軸只有唯一交點(diǎn)，即唯一零點(diǎn)，

由解之得

函數(shù)的零點(diǎn)為或（舍去）；

  當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，即兩個(gè)零點(diǎn)，分別為和；

  當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)與軸有三個(gè)交點(diǎn)，即有三個(gè)零點(diǎn)，

由解得，，

∴函數(shù)的零點(diǎn)為和.

綜上可得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)為；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)，且零點(diǎn)為；

當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)和；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)和.                     ……14分

考點(diǎn)：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的判斷和單調(diào)區(qū)間的求解，含參數(shù)的二次函數(shù)單調(diào)性的判斷以及函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷，考查學(xué)生分類討論思想的應(yīng)用.

點(diǎn)評：判斷函數(shù)的單調(diào)性可以用單調(diào)性的定義并結(jié)合常見函數(shù)的單調(diào)性，二此函數(shù)判斷單調(diào)性要結(jié)合二次函數(shù)的圖象，分類討論時(shí)要做到不重不漏.