Question

（2012•江西模擬）在△ABC中，AC=6，BC=7，cosA=

1

5

，O是△ABC的內心，若

OP

=x

OA

+y

OB

，其中0≤x≤1，0≤y≤1，動點P的軌跡所覆蓋的面積為（　　）

• A．

  10

  3

  6

• B．

  5

  3

  6

• C．

  10

  3

• D．

  20

  3

Answer 1

分析：由

OP

=x

OA

+y

OB

，0≤x≤1，0≤y≤1，知動點P的軌跡為以OA，OB為鄰邊的平行四邊形內部（含邊界），由AC=6，BC=7，cosA=

1

5

，利用余弦定理解得AB=5，sinA=

2 6

5

，由此能求出動點P的軌跡所覆蓋的面積．

解答：解：∵

OP

=x

OA

+y

OB

，0≤x≤1，0≤y≤1，
∴動點P的軌跡為以OA，OB為鄰邊的平行四邊形ADBO的內部（含邊界），
∵AC=6，BC=7，cosA=

1

5

，
BC²=AC²+AB²-2AB×AC×cosA
∴49=36+AB²-2×6×AB×

1

5

，
∴5AB²-12AB-65=0
  解得：AB=5
  sinA=

1-cos2A

=

2 6

5

，
∴S_△ABC=

1

2

×6×5×

2 6

5

=6

6

，
設△ABC內切圓半徑為r，則

1

2

（5+6+7）r=6

6

，
∴r=

2 6

3

，
∴S_△AOB=

1

2

×AB×r=

1

2

×5×

2 6

3

=

5 6

3

，
∴動點P的軌跡所覆蓋的面積為：2S_△AOB=

10 6

3

．
故選A．

點評：本題考查動點的軌跡所覆蓋的面積的求法，解題時要認真審題，注意余弦定理、三角函數性質的靈活運用．