Question

f(x)=

ax+b

1+x2

是定義在（-1，1）上的函數，其圖象過原點，且f(

1

2

)=

2

5

．
（1）確定函數f（x）的解析式；
（2）用定義證明f（x）在（-1，1）上是增函數．

Answer 1

分析：（1）根據f(x)=

ax+b

1+x2

是定義在（-1，1）上的函數，其圖象過原點，且f(

1

2

)=

2

5

，建立方程，即可求得函數f（x）的解析式；
（2）先在（-1，1）上任取兩個自變量，然后利用做差法比較對應函數值的大小即可

解答：（1）解：∵f(x)=

ax+b

1+x2

是定義在（-1，1）上的函數，其圖象過原點，且f(

1

2

)=

2

5

．
∴b=0，

a 2 +b

1+ 1 4

=

2

5

∴b=0，a=1
∴f(x)=

x

1+x2

（x∈（-1，1））
（2）證明：任取x₁，x₂使-1＜x₁＜x₂＜1
f（x₁）-f（x₂）=

x1

1 +x 2 1

-

x2

1 +x 2 2

=

(x1-x2)(1-x1x2)

(1 +x 2 1 )(1 +x 2 2 )

∵-1＜x₁＜x₂＜1，∴x₁-x₂＜0；1-x₁x₂＞0；
∴

(x1-x2)(1-x1x2)

(1 +x 2 1 )(1 +x 2 2 )

＜0
f（x₁）-f（x₂）＜0
∴f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在（-1，1）上是增函數；

點評：本題考查函數的解析式的求法，考查函數的單調性，正確運用單調性的定義是關鍵．