Question

已知橢圓的中心在原點，對稱軸為坐標軸，焦點在x軸上，短軸的一個頂點B與兩個焦點F₁，F₂組成的三角形的周長為4+2

3

，且∠F₁BF₂=

2π

3

，求橢圓的標準方程．

Answer 1

分析：先結合橢圓圖形，通過直角三角形△F₂OB推出a，c的關系，利用周長得到第二個關系，求出a，c然后求出b，求出橢圓的方程．

解答：：解：設長軸長為2a，焦距為2c，
則在△F₂OB中，由∠F₂BO=

π

3

得：c=

3

2

a，
所以△F₂BF₁的周長為2a+2c=2a+

3

a=4+2

3

，
∴a=2，c=

3

，
∴b²=1；
故所求橢圓的標準方程為

x2

4

+y²=1．

點評：本題主要考查考察查了橢圓的標準方程的求法，關鍵是求出a，b的值，易錯點是沒有判斷焦點位置．