Question

設a，b∈R且a≠2，函數在區間（-b，b）上是奇函數．
（Ⅰ）求ab的取值集合；
（Ⅱ）討論函數f（x）在 （-b，b）上的單調性．

Answer 1

解：（I）函數在區間（-b，b）內是奇函數
∴對任意x∈（-b，b）都有f（-x）+f（x）=0，
∴+==0
即
即a²x²=4x²，此式對任意x∈（-b，b）都成立
∴a²=4
又∵a≠2，∴a=-2
代入，得＞0，即-＜x＜
此式對任意x∈（-b，b）都成立，相當于-＜-b＜b＜
所以b的取值范圍是（0，]
∴ab的取值集合為[-1，0）
（II）設任意的x₁，x₂∈（-b，b），且x₁＜x₂，由b∈（0，]得
所以0＜1-2x₂＜1-2x₁，0＜1+2x₁＜1+2x₂
從而f（x₂）-f（x₁）=-=＜lg1=0
∴f（x₂）＜f（x₁）
因此f（x）在（-b，b）內是減函數?
分析：（I）根據奇函數的定義，由f（-x）+f（x）=0結合對數的運算性質，可得a的值，根據函數的解析式，分析使式子有意義的x的范圍，進而可得b的取值范圍，進而得到ab的取值集合；
（Ⅱ）任取x₁，x₂∈（-b，b），且x₁＜x₂，分析出f（x₂）與f（x₁）的大小，進而根據函數單調性的定義，判斷出函數f（x）在 （-b，b）上的單調性
點評：本題考查的知識點是函數的奇偶性與函數的單調性，其中根據已知求出a值，進而確定函數的解析式，是解答的關鍵．