Question

【題目】在經濟學中，函數的邊際函數為，定義為，某公司每月最多生產臺報警系統裝置，生產臺的收入函數為（單位元），其成本函數為（單位元），利潤等于收入與成本之差．

（Ⅰ）求出利潤函數及其邊際利潤函數．

（Ⅱ）求出的利潤函數及其邊際利潤函數是否具有相同的最大值．

（Ⅲ）你認為本題中邊際利潤函數最大值的實際意義．

Answer 1

【答案】（1） ， （2）不具有相同的最大值（3）見解析

【解析】試題分析：（1）根據利潤等于收入與成本之差得利潤函數，根據邊際利潤函數定義得，代入化簡即可（2）分別根據二次函數，一次函數單調性求最大值，并確定最大值是否相同（3）從函數單調性上課說明實際意義：隨著產量的增加，每一臺利潤與前一天利潤相比在減少．

試題解析：解：（Ⅰ）由題意可知： ，且，

利潤函數

，

邊際利潤函數

．

（Ⅱ），

∴當或時， 的最大值為元．

∵是減函數，

∴當時， 的最大值為．

∴利潤函數與邊際利潤函數不具有相同的最大值．

（Ⅲ）邊際利潤函數當時有最大值，說明生產第二臺機器與生產第一天機器的利潤差最大，邊際利潤函數是減函數，說明隨著產量的增加，每一臺利潤與前一天利潤相比在減少．