Question

如圖，在△BCD中，∠BCD=90°，AB⊥平面BCD，E、F分別是AC、AD上的動點，且

AE

AC

=

AF

AD

=λ(0＜λ＜1)．
（1）求證：不論λ為何值，總有平面BEF⊥平面ABC；
（2）若BE⊥AC，求證：平面BEF⊥平面ACD．

Answer 1

分析：（1）由AB⊥平面BCD，知AB⊥CD，由CD⊥BC，知CD⊥平面ABC．由

AE

AC

=

AF

AD

=λ(0＜λ＜1)，知不論λ為何值，恒有EF∥CD，由此能夠證明不論λ為何值，恒有平面BEF⊥平面ABC．
（2）由EF⊥平面ABC，知BE⊥EF，由BE⊥AC，知BE⊥平面ACD，由此能夠證明平面BEF⊥平面ACD．

解答：（本小題滿分15分）
證明：（1）∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD，（1分）
∵CD⊥BC且AB∩BC=B，∴CD⊥平面ABC．（4分）
又

AE

AC

=

AF

AD

=λ(0＜λ＜1)，
∴不論λ為何值，恒有EF∥CD，（5分）
∴EF⊥平面ABC，又EF在平面BEF內，（7分）
∴不論λ為何值，恒有平面BEF⊥平面ABC．（8分）
（2）：由（1）知EF⊥平面ABC，∴BE⊥EF，（10分）
又∵BE⊥AC且EF∩AC=E，∴BE⊥平面ACD，（13分）
又BE在平面BEF內，
∴平面BEF⊥平面ACD．（15分）

點評：本題考查平面與平面垂直的證明，解題時要認真審題，注意合理地化空間問題為平面問題，注意空間思維能力的培養．